ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学の公理をＥ_１，Ｅ_２，Ｅ_３，Ｅ_４，Ｅ_５とします。Ｅ_５は平行線公理です。公理は真の命題だから、公理を否定したら、それはただの偽の命題になります。

非ユークリッド幾何学は平行線公理の否定を仮定として有しています。ここで注意していただきたいことは、次なる文章は誤りです。

「非ユークリッド幾何学は、平行線公理の否定を『公理』として有している」

正しく書き改めると、次のようになります。

「非ユークリッド幾何学は、平行線公理の否定を『仮定』として有している」

平行線公理の否定は公理にはなりえません。あくまでも「公理の否定は公理ではない」ということです。

平行線公理と平行線公理の否定はお互いに矛盾しているので、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学もお互いに矛盾していることになります。よって、次なる命題は誤りです。

「ユークリッド幾何学が無矛盾であれば、非ユークリッド幾何学も無矛盾である」

正しい文章に直すと、次のようになります。

「ユークリッド幾何学が無矛盾であれば、非ユークリッド幾何学は矛盾している」

非ユークリッド幾何学の矛盾